Конус

Welcome to Конус

Конус (топология) — Википедия

2024.03.27 21:17


Конус (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к навигации Перейти к поиску У этого термина существуют и другие значения, см. Конус (значения) . Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Конус в топологии — топологическое пространство , получающееся из исходного пространства X {\displaystyle X} стягиванием подпространства X × { 0 } {\displaystyle X\times \{0\}} его цилиндра ( X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} ) в одну точку, то есть, факторпространство ( X × [ 0 , 1 ] ) / ( X × { 0 } ) {\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \{0\})} . Конус над пространством X {\displaystyle X} обозначается C X {\displaystyle \mathrm {C} X} .

Если X {\displaystyle X} — компактное подмножество евклидова пространства , то конус над X {\displaystyle X} гомеоморфен объединению отрезков из X {\displaystyle X} в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического . Однако топологический конус является более общей конструкцией.

Содержание

1 Примеры 2 Свойства 3 Конический функтор 4 Приведённый конус 5 См. также 6 Примечания 7 Литература

Примеры [ править | править код ]

Конус над точкой p {\displaystyle p} вещественной прямой — это интервал { p } × [ 0 , 1 ] {\displaystyle \{p\}\times [0,1]} , конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником P {\displaystyle P} — это пирамида с основанием P {\displaystyle P} . Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

{ ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ x 2 + y 2 = z 2 ∧ 0 ⩽ z ⩽ 1 } {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}} ,

гомеоморфная кругу .

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -мерному шару . Конус над n {\displaystyle n} - симплексом — ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -симплекс.

Свойства [ править | править код ]

Конус C X {\displaystyle \mathrm {C} X} может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения X → { 0 } {\displaystyle X\to \{0\}} [1] .

Все конусы являются линейно связными , поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии , задаваемой формулой h t ( x , s ) = ( x , ( 1 − t ) s ) {\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)} .

Если X {\displaystyle X} является компактным и хаусдорфовым , то конус C X {\displaystyle \mathrm {C} X} можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку X {\displaystyle X} с единственной точкой; если X {\displaystyle X} не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве C X {\displaystyle \mathrm {C} X} будет тоньше , чем множество отрезков, соединяющих X {\displaystyle X} с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство X {\displaystyle X} стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функтор [ править | править код ]

Отображение X ↦ C X {\displaystyle X\mapsto \mathrm {C} X} порождает конический функтор — эндофунктор C : T o p → T o p {\displaystyle \mathrm {C} :\mathbf {Top} \to \mathbf {Top} } над категорией топологических пространств T o p {\displaystyle \mathbf {Top} } .

Приведённый конус [ править | править код ]

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством [en] [2] ( X , x 0 ) {\displaystyle (X,x_{0})} :

C ( X , x 0 ) = ( X × [ 0 , 1 ] ) / ( ( X × { 0 } ) ∪ ( { x 0 } × [ 0 , 1 ] ) ) {\displaystyle \mathrm {C} (X,x_{0})={\big (}X\times [0,1]{\big )}/{\big (}(X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1]){\big )}} .

Естественное вложение x ↦ ( x , 1 ) {\displaystyle x\mapsto (x,1)} позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса [3] .

См. также [ править | править код ]

Надстройка (топология) Конус отображения (топология) [en] Конус отображения (гомологическая алгебра) [en] Джойн (топология)

Примечания [ править | править код ]

Спеньер, 1971 , с. 77. Свитцер, 1985 , с. 13. Спеньер, 1971 , с. 469.

Литература [ править | править код ]

Ален Хатчер. Алгебраическая топология. — Москва: Издательство МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-940-57-748-5 . Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985. Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — Москва: «Мир», 1971. Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Конус_(топология)&oldid=128916164 Категория : Алгебраическая топология Скрытая категория: Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN

Навигация

Персональные инструменты

Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти

Пространства имён

Статья Обсуждение русский

Просмотры

Читать Править Править код История Ещё

Поиск

Навигация

Заглавная страница Содержание Избранные статьи Случайная статья Текущие события Пожертвовать

Участие

Сообщить об ошибке Как править статьи Сообщество Форум Свежие правки Новые страницы Справка

Инструменты

Ссылки сюда Связанные правки Служебные страницы Постоянная ссылка Сведения о странице Цитировать страницу Получить короткий URL Скачать QR-код Элемент Викиданных

Печать/экспорт

Скачать как PDF Версия для печати

На других языках

Deutsch English Français Italiano 日本語 Polski Українська Править ссылки Эта страница в последний раз была отредактирована 1 марта 2023 в 23:37. Текст доступен по лицензии Creative Commons «С указанием авторства — С сохранением условий» (CC BY-SA) ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. Условия использования .
Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации «Фонд Викимедиа» (Wikimedia Foundation, Inc.) Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Свяжитесь с нами Кодекс поведения Разработчики Статистика Заявление о куки Мобильная версия

Vivamus fermentum nibh