Конус

Welcome to Конус

Конус — Википедия

2024.03.27 21:17


Конус

Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к навигации Перейти к поиску У этого термина существуют и другие значения, см. Конус (значения) . Конус

Ко́нус (через нем. Konus и лат. cōnus , от др.-греч. κώνος [1] — «сосновая шишка» [2] ) — поверхность , образованная в пространстве множеством лучей (образующих конуса), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса) [3] .

Если направляющая конуса — замкнутая кривая, то коническая поверхность служит границей пространственного тела , которое также называют «конусом» (см. рисунок), а внутренность этой кривой называют «основанием конуса», если основание конуса представляет собой многоугольник , такой конус является пирамидой .

Двойной конус

Иногда вместо лучей рассматривают прямые, тогда получается двойной конус, состоящий из двух симметричных относительно вершины частей.

Конус и связанные с ним конические сечения играют большую роль в математике, астрономии и других науках.

Содержание

1 Связанные определения 2 Типы конусов 3 Свойства 4 Уравнение прямого кругового конуса 5 Развёртка 6 Вариации и обобщения 7 См. также 8 Примечания 9 Литература

Связанные определения [ править | править код ]

Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью . Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка). Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса). Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Типы конусов [ править | править код ]

Прямой круговой конус Прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: их объём одинаков Усечённый прямой круговой конус Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом ) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса . Косой (или наклонный ) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус — конус, основание которого является кругом. Конус вращения , или прямой круговой конус (часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением (то есть тело вращения ) прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет треугольника (эта прямая является осью конуса). Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом : последние два имеют бесконечный объём. Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием. Равносторонний конус — конус вращения, образующая которого равна диаметру основания [4] .

Свойства [ править | править код ]

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. V = 1 3 S H , {\displaystyle V={1 \over 3}SH,} где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны. Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания. Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен 2 π ( 1 − cos ⁡ α 2 ) , {\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),} где α — угол раствора конуса. Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна S = π R t , {\displaystyle S=\pi Rt,} а в общем случае S = t l 2 , {\displaystyle S={\frac {tl}{2}},} где R — радиус основания, t = R 2 + H 2 {\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}} — длина образующей, l {\displaystyle l} — длина границы основания. Полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания) равна S = π R ( t + R ) , {\displaystyle S=\pi R(t+R),} для прямого кругового конуса и S = t l 2 + S ос , {\displaystyle S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{ос}},} для произвольного, где S ос {\displaystyle S_{\text{ос}}} — площадь основания. Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен V = 1 3 π R 2 H . {\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.} Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен: V = 1 3 π H ( R 2 + R r + r 2 ) , {\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),} где R {\displaystyle R} и r {\displaystyle r} — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, H {\displaystyle H} — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания. Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен: V = 1 3 ( H 2 S 2 − H 1 S 1 ) , {\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),} где S 1 {\displaystyle S_{1}} и S 2 {\displaystyle S_{2}} — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, H 1 {\displaystyle H_{1}} и H 2 {\displaystyle H_{2}} — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины. Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом , параболой или гиперболой , в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение прямого кругового конуса [ править | править код ]

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz :

В сферической системе координат с координатами ( r , φ, θ) : θ = Θ . {\displaystyle \theta =\Theta .} В цилиндрической системе координат с координатами ( r , φ, z ) : z = r ⋅ ctg ⁡ Θ {\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta } или r = z ⋅ tg ⁡ Θ . {\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .} В декартовой системе координат с координатами ( x , y , z ) : z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ . {\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .} Это уравнение в каноническом виде записывается как x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,} где константы a , с определяются пропорцией c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . {\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .} Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность ). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz ) её уравнение имеет вид x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,} причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f ( x , y , z ) = 0 , {\displaystyle f(x,y,z)=0,} где функция f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} является однородной , то есть удовлетворяющей условию f ( α x , α y , α z ) = α n f ( x , y , z ) {\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)} для любого действительного числа α .

Развёртка [ править | править код ]

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ {\displaystyle \varphi } в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·( r / l ) .

Вариации и обобщения [ править | править код ]

В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество K {\displaystyle K} векторного пространства V {\displaystyle V} над полем F {\displaystyle F} , для которого для любого λ ∈ F {\displaystyle \lambda \in F} λ K = K . {\displaystyle \lambda K=K.} В топологии конус над топологическим пространством X есть факторпространство X × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle X\times [0,\infty )} по отношению эквивалентности ( x , 0 ) ∼ ( y , 0 ) . {\displaystyle (x,0)\sim (y,0).} В линейной алгебре есть понятие выпуклого конуса .

См. также [ править | править код ]

В родственных проектах Значения в Викисловаре Медиафайлы на Викискладе Коническая поверхность Коническое сечение Конус (топология) Световой конус

Примечания [ править | править код ]

Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера «I κῶνος» Математический энциклопедический словарь, 1988 , с. 288. Математический справочник (неопр.) . Дата обращения: 22 мая 2020. Архивировано 2 декабря 2020 года.

Литература [ править | править код ]

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) . — 2-е изд. — М. : Наука, 1970. — 720 с. Конус // Математический энциклопедический словарь . — М. : Советская энциклопедия, 1988. — С. 288 . — 847 с. Ссылки на внешние ресурсы Тематические сайты MathWorld Словари и энциклопедии Большая датская Большая норвежская Большая российская (старая версия) Брокгауза и Ефрона Ларусса Малый Брокгауза и Ефрона В. Даля Britannica (11-th) PWN В библиографических каталогах GND : 4163534-6 NKC : ph973161 Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Конус&oldid=129398767 Категории : Геометрические фигуры Квадрики Скрытые категории: Статьи со ссылками на Викисловарь Статьи со ссылками на Викисклад

Навигация

Персональные инструменты

Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти

Пространства имён

Статья Обсуждение русский

Просмотры

Читать Править Править код История Ещё

Поиск

Навигация

Заглавная страница Содержание Избранные статьи Случайная статья Текущие события Пожертвовать

Участие

Сообщить об ошибке Как править статьи Сообщество Форум Свежие правки Новые страницы Справка

Инструменты

Ссылки сюда Связанные правки Служебные страницы Постоянная ссылка Сведения о странице Цитировать страницу Получить короткий URL Скачать QR-код Элемент Викиданных

Печать/экспорт

Скачать как PDF Версия для печати

В других проектах

Викисклад

На других языках

Afrikaans አማርኛ العربية Aymar aru Azərbaycanca تۆرکجه Basa Bali Беларуская Беларуская (тарашкевіца) Български Bosanski Català Tsetsêhestâhese کوردی Čeština Чӑвашла Cymraeg Dansk Deutsch Ελληνικά English Esperanto Español Eesti Euskara فارسی Suomi Français Nordfriisk Gaeilge 贛語 Kriyòl gwiyannen Galego ગુજરાતી עברית हिन्दी Hrvatski Magyar Հայերեն Արեւմտահայերէն Interlingua Bahasa Indonesia Íslenska Italiano 日本語 Jawa ქართული Taqbaylit Қазақша ភាសាខ្មែរ 한국어 Кыргызча Latina Lingua Franca Nova Lietuvių Latviešu Мокшень Malagasy Македонски മലയാളം Монгол Bahasa Melayu Nederlands Norsk nynorsk Norsk bokmål Occitan Oromoo Polski Piemontèis پښتو Português Runa Simi Română Sicilianu Srpskohrvatski / српскохрватски සිංහල Simple English Slovenčina Slovenščina ChiShona Soomaaliga Shqip Српски / srpski Sunda Svenska Kiswahili தமிழ் తెలుగు Тоҷикӣ ไทย Tagalog Türkçe Татарча / tatarça Тыва дыл Українська Oʻzbekcha / ўзбекча Tiếng Việt Winaray 吴语 ייִדיש 中文 粵語 Править ссылки Эта страница в последний раз была отредактирована 23 марта 2023 в 17:33. Текст доступен по лицензии Creative Commons «С указанием авторства — С сохранением условий» (CC BY-SA) ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. Условия использования .
Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации «Фонд Викимедиа» (Wikimedia Foundation, Inc.) Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Свяжитесь с нами Кодекс поведения Разработчики Статистика Заявление о куки Мобильная версия

Vivamus fermentum nibh